Grant Lythe: Tésis doctoral             

Trinity College, Universidad de Cambridge, 1994.

Director de Tésis: M.R.E. Proctor

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales son las herramientas más importantes de las matemáticas aplicadas. Dichas ecuaciones describen el movimiento determinista. En esta tesis doctoral se utilizan las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) para describir el movimiento con tanto una componente aleatoria como una componente determinista.

Inspirados por el descubrimiento del comportamiento caótico determinado por ecuaciones diferenciales simples los matemáticos aplicados han adoptado en los últimos 20 años una estrategia familiar a los pintores: en vez de intentar incluir todos los detalles, restringirse a una descripción que capture lo esencial de la manera más sencilla posible -- un boceto en lugar de una reproducción fotográfica. La teoría de la bifurcación (la clasificación de estos bocetos) ha probado ser una herramienta de un inmenso poder para obtener un conocimiento cualitativo de dinámicas complicadas.

Ciertos asuntos han de ser mencionados antes de que las ecuaciones diferenciales en dimensiones pequeñas puedan tener poder predictivo. El primero de estos asuntos es la influencia del ruido - un elemento aleatorio que se añade a una regla determinista. Cualquier ecuación diferencial que modela un sistema físico ignora algunas de sus influencias. Por ejemplo, los modelos de orden pequeño en mecánica de fluidos son deducidos, a menudo, al ignorar modos de Fourier altos. En cualquier caso, si el modelo está bien elegido, se puede esperar que las influencias ignoradas sean pequeñas, varíen rápidamente, y tengan media cero. Bajo estas circunstancias, tiene sentido llamarlos ruido y modelarlos utilizando procesos estocásticos.

El efecto del ruido en la dinámica con tiempo continuo ha sido considerado en muy raras ocasiones; la herramienta apropiada para hacerlo es el denominado cálculo estocástico, el cálculo de los caminos (paths) continuos pero irregulares y sometidos a fuerzas aleatorias. Desde el desarrollo de la integral de Ito, este cálculo ha crecido como una parte de la teoría de la probabilidad. Los caminos, o trayectorias, de los procesos estocásticos se pueden descomponer en incrementos deterministas y aleatorios. Independientemente de cuan pequeño sea el intervalo temporal elegido, el incremento aleatorio en el intervalo no se puede predecir del conocimiento de los incrementos previos. Por lo tanto una EDE describe no sólo un camino, sino una colectividad de caminos. (El valor medio de una cantidad y, que denotamos mediante , se refiere al promedio de la variable y en la colectividad de caminos.)

No es posible basar el cálculo estocástico en el concepto de derivada porque los caminos estocásticos son generalmente no diferenciables. Al contrario, los caminos están caracterizados por su media y varianza de incrementos. Tras abandonar el concepto de derivada, el considerar los cuadrados de cantidades infinitesimales puede parecer poco intuitivo; sin embargo, esto se debe a que nuestra intuición no está apropiadamente entrenada. Como una regla que se ha de implementar en la computadora, no existen dificultades insuperables. En cada incremento temporal se añaden dos incrementos de la variable considerada: uno aleatorio y otro determinista. De esta manera, se genera una aproximación al valor de la variable en un camino particular del proceso estocástico para instantes de tiempo determinados. Las medias se pueden evaluar mediante la repetición de este procedimiento un suficiente número de veces.

Por qué es necesario utilizar una EDE en lugar de la tradicional ecuación de Fokker-Planck? La elegancia es una razón importante, aunque subjetiva. En segundo lugar los métodos numéricos que se usan para EDEs son extensiones naturales de sus correspondientes métodos deterministas, mientras que la ecuación de Fokker-Planck es ya una ecuación diferencial parcial (y una ecuación de Fokker-Planck funcional es aún más difícil). Los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas son un tanto más complicados que los deterministas. En este caso un programa de computadora genera una sucesión de configuraciones que aproximan los valores obtenidos en una realización del proceso estocástico (que formalmente toma valores en un espacio de dimensión infinita) en un conjunto discreto de tiempos. La tercera razón es que las EDEs, que tratan una trayectoria cada vez, encajan de manera más natural en la nueva cultura de las matemáticas aplicadas: describen un sistema complejo mediante la consideración de trayectorias que satisfacen una ecuación diferencial simplificada que sólo incluye explícitamente las variables más importantes. Una tal ecuación diferencial es un modelo más realista si se incluye el ruido. Una de las razones de que esto no se haga más a menudo es que las EDEs aún no se entienden bien.

En física estadística y de manera tradicional, el papel del ruido es "hacer vibrar" al sistema en un potencial que se deriva de una ecuación determinista. En la teoría estática la influencia del ruido en las bifurcaciones y transiciones de fase, por ejemplo, el efecto mayor del ruido con (r.m.s) magnitud ε es difuminar la bifurcación en una región O (ε) entorno al punto crítico. En este contexto, se reconoce que el ruido multiplicativo produce efectos más interesantes que el ruido aditivo, pero de hecho se necesita ruido O (1) para producir efectos de orden O (1). Un efecto más dramático se observa en las bifurcaciones dinámicas, cuando un parámetro se aumenta lentamente pasando por un punto crítico. En este caso el efecto del ruido es una función del parámetro μ | \log ε |, donde μ es la frecuencia de barrido y ε la magnitud del ruido aditivo. (En la mayoría de los fenómenos de interés en esta tesis doctoral, el ruido aditivo es más importante que el ruido multiplicativo, y el efecto de ruido de color difiere en poco del de ruido blanco.)

El término ruido, refiriéndose a la parte aleatoria de una ecuación diferencial, tiene su origen en el estudio de los circuitos eléctricos; la connotación de algo negativo y no deseado aún perdura en el vocablo ``ruido''. Se dan circunstancias, sin embargo, en las que el ruido tiene un efecto positivo, e incluso, organizador. Por ejemplo, en el caso de transiciones controladas por el ruido, existe un nivel crítico de ruido por encima del cual la forma de una densidad de probabilidad cambia, y la resonancia estocástica, en la que señales de entrada aleatorias y periódicas pueden producir una señal de salida (con proporción entre señal--ruido) que es máxima para un nivel de ruido no nulo.

La dinámica lenta--rápida es un ejemplo más dramático de la capacidad organizadora del ruido. En este caso todas las propiedades que se utilizan para describir las trayectorias (el tamaño y el periodo de las órbitas, la posición de las bifurcaciones, la existencia o no de trayectorias caóticas, si las trayectorias son asintóticas, ...) están controladas por cantidades pequeñas de ruido aditivo. La susceptibilidad al ruido se debe a la presencia de una variedad invariante -- un subconjunto del espacio de fases tal que la trayectoria se ve restringida a dicho subconjunto. Durante periodos largos, la trayectoria es casi una variedad invariante y se puede distinguir entre las variables que miden la distancia en la dirección paralela a dicha variedad (variables principales), y aquéllas que miden la distancia desde la variedad (variables esclavas). Estas fases lentas se ven interrumpidas, de manera ocasional, por ``levantamientos'' transitorios de las variables esclavas (fases rápidas).

El análisis de la dinámica lenta--rápida explota la separación que existe entre estas dos fases, y se puede representar convenientemente en un diagrama. Aquéllos familiarizados con el análisis de caos homoclínico o de oscilaciones de relajación podrán reconocer el paralelismo entre las dos situaciones. El efecto más importante (en el diagrama) de añadir ruido de amplitud pequeña a una ecuación diferencial es determinístico y O(1); pero no es equivalente a la adición de ruido al diagrama determinista. En el análisis de la fase lenta, cuando las trayectorias se encuentran próximas a la variedad invariante, utilizaré ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs). Esto lleva a una expresión analítica muy precisa del diagrama.

Resumen de la tesis doctoral

Dentro de unos años será posible escribir un resumen de las ecuaciones diferencial parciales estocásticas (EDPEs) con el mismo espí ritu. De momento, sin embargo, la teoría de EDPEs no está terminada. En el Capítulo 3 introduzco algunas ideas sobre la teoría actual de EDPEs y paso rápidamente a detallar ejemplos de métodos numéricos para añadir ruido blanco espacio-temporal a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas en una o dos dimensiones espaciales.

En el Capítulo 4 analizo el efecto del ruido en el fenómeno de retraso en bifurcaciones dinámicas: la sustitución de una transición continua entre estados, que es de esperar de una interpretación naive de la teoría de la bifurcación, por un retraso seguido de un salto inesperado. Si μ, la tasa de cambio del parámetro, es lo suficientemente pequeña, el retraso característico es μ|\logε|, con ε el tamaño de las perturbaciones aditivas.

El Capítulo 5 contiene el primer análisis de un fenómeno de ruido y de bifurcaciones dinámicas en sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales parciales. La longitud de correlación que emerge del ruido durante un pase lento y cercano al punto crítico se congela por la no linealidad y forma dominios con longitud característica ({8\lnε / μ)^1/4. En particular en este Capítulo resuelvo las EDPEs de Ginzburg-Landau y Swift-Hohenberg en una y dos dimensiones espaciales.

En el Capítulo 6 considero dinámica controlada por el ruido en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias como un modelo de inestabilidad de deformación en convección. Analizando separadamente la fase lenta (controlada por el ruido) y la fase rápida (no lineal en gran manera), derivo una representación que muestra de manera concisa la dinámica e incluye explícitamente el efecto del ruido. El parámetro más importante es μ|\logε|, donde ε es el nivel de ruido y 1/ μ es la escala temporal (lenta) de la dinámica cerca de la variedad invariante. También considero un conjunto modelo de ecuaciones diferenciales parciales no lineales en una dimensión espacial. La dinámica lenta--rápida controlada por el ruido, similar a aquélla vista en ecuaciones diferenciales ordinarias se encuentra cuando el dominio espacial es pequeño.

En el Capítulo 7 considero la dinámica controlada por el ruido para modos de onda en interacción resonante. Este fue uno de los primeros ejemplos conocidos que muestran los efectos dramáticos inducidos por la presencia de ruido: en un intervalo de parámetros, por ejemplo, las trayectorias son caóticas sin ruido y casi periódicas con ruido (el tamaño de vuelta sucesivas varía de acuerdo con una distribución con desviación estándar proporcional a μ).

En el Capítulo final discuto una forma normal para un desdoblamiento cerca de una bifurcación de codimensión dos, apropriada como una descripción de la interacción no resonante de los modos en sistemas con simetría O(2). Las órbitas con buen comportamiento se producen al añadir ruido en el intervalo de parámetros donde las ecuaciones sin ruido no tienen solución estable. De hecho el ruido se puede ver como una alternativa a los términos de orden superior que se añaden.

En toda esta tesis doctoral, comparo mi análisis con los resultados obtenidos en simulaciones numéricas de trayectorias estocásticas.

Miembros del Comité

Doctor Kalvis Jansons, Department of Mathematics, University College London.