Grant Lythe: Temas de investigación             

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Dinámica Estocástica

La dinámica es el movimiento de objetos o la evolución de una variable, o de unas variables, en el tiempo. Ha sido estudiada, con éxito en los últimos siglos, mediante ecuaciones diferenciales deterministas. Sin embargo, ruido, fluctuaciones o efectos aleatorios están presentes en cada sistema real. Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales estocásticas nos proporcionan un marco donde desarrollar modelos más cercanos a la realidad.

En muchos campos, un reto importante es entender un sistema grande, influenciado por varios factores no-lineales y ruidosos, con estructuras coherentes que se pueden identificar y que persisten. Con ordenadores potentes, se realizan las simulaciones más grandes posibles de modelos sofisticados. Sin embargo, es imprescindible un desarollo simultáneo de métodos teóricos para identificar las estructuras de manera eficaz y predecir su número, dinámica e interacciones.

Las ecuaciones diferenciales se usan frecuentemente para modelizar la dinámica de los sistemas físicos. A medida que aumenta la capacidad de computación que proporcionan los ordenadores actuales, la tendencia a analizar únicamente ecuaciones lineales va siendo reemplazada por una metodología basada en un mezcla adecuada de cálculo numérico, teoría e análisis asintótico.


kinks |  Dinámica de reacción controlada por difusión |  métodos numéricos |  el método exponencial | 
ED estocásticas |  ED estocásticas en derivadas parciales |  Dinámica controlada por el ruido
el Drift de Stokes estocástico |  Ruido y dieléctricos no-lineales |  láseres | 

Dinámica de "kinks"

La idea de una onda solitaria, una solución de una ecuación no-lineal que puede moverse e interaccionar con otras ondas solitarias sin perder su forma, es hoy una de las más importantes de la física no-lineal. En presencia de ruido, aunque no existen objetos que mantengan su forma de manera exacta, hay estructuras coherentes que mantienen su identidad. El trabajo se centra en unas estructuras coherentes no-lineales en una dimensión espacial denominadas kinks. Se realizan estudios analíticos y numéricos de la ecuación en derivadas parciales estocástica que corresponde a un sistema extendido de doble pozo, conocido como un campo del tipo Ø4. Cuando el sistema es sobre-amortiguado, se puede describir el movimiento de los kinks con un modelo sencillo en el cual los kinks y antikinks, nacidos en pares, se difunden. Cuando un kink y un antikink se encuentran, se aniquilan. Dicho modelo predice que el número de sucesos de nucleación por unidad de tiempo es proporcional al cuadrado de la densidad de kinks en equilibrio.

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Dinámica de reacción controlada por difusión

Estudiamos modelos de reacción-difusión en los cuales partículas, nacidas en pares, se difunden. Cuando dos partículas se encuentran, se aniquilan. Hemos podido calcular de manera exacta la relación entre la densidad de partículas en el estado estacionario y los tres parámetros: la frecuencia de nucleación, el coeficiente de difusividad y la separación entre dos partículas nacidas simultáneamente. Este cálculo se hace a partir de la función de probabilidad de que, entre dos puntos determinados, haya un número par de partículas. Dicha función verifica una ecuación de evolución que se puede resolver de manera analítica.

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Métodos numéricos para EDEs

La segunda ley de Newton relaciona fuerza con aceleración. Consecuentemente, encontramos con gran frecuencia en ciencia ecuaciones diferenciales de segundo orden. Por otro lado, el estudio de algoritmos para la resolución de dichas ecuaciones es un campo bien desarrollado del analisis numérico. Métodos numéricos capaces de conservar propiedades geométricas juegan un papel cada día más importante en estudios de dinámica determinista. En particlular, los métodos denominados ``simplécticos'' se usan para resolver dinamica hamiltoniana. En la dinámica estocástica, un conjunto de trayectorias comienzan desde la misma condición inicial; cada trayectoria corresponde a una realización distinta del proceso estocástico. Por lo tanto, propiedades geométricas relacionadas con un haz (bundle) de trayectorias cercanas ya no son relevantes. Sin embargo, para tiempos grandes, existe en muchos casos una cantidad relevante: la densidad estacionaria. En colaboración con el Catedrático Burrage he construido metódos explícitos del tipo Runge-Kutta particionado, que reproducen dicha densidad con la mayor precisión posible.

Numerical methods for second-order for stochastic differential equations.

Kevin Burrage, Ian Lennane y Grant Lythe      SIAM Journal of Scientific Computing in press (2006)
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El método exponencial para EDEs

Una solución numérica de una ecuación diferencial estocástica (EDE) es una serie de valores en instantes de tiempo separados. En métodos tradicionales, las separaciones entre los instantes son fijas. Introducimos un método en el cual las separaciones son variables aleatorias con una distribución exponencial. Introducimos también la corrección que se necesita cuando hay una frontera. Dicha corrección permite una evaluación más eficaz de tiempos de paso.

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Drift de Stokes estocástico

Particulas suspendidas en un fluido sujeto a una o varias ondas adquieren una velocidad media (de deriva) pequeña, que se denomina "Stokes Drift" clásico. En colaboración con el Dr. Jansons he estudiado el caso en el que dichas partículas también se difunden. Nuestros resultados muestran la existencia de una velocidad media no cero, incluso cuando la velocidad media clásica es cero. Nuestro estudio se basa en un método general para calcular la velocidad Lagrangiana media de un movimiento parecido al Browniano y ha sido verificado por ensayos numéricos.

Stochastic Stokes' drift

Kalvis Jansons y Grant Lythe       Physical Review Letters   81  3136-3139   (1998)
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Ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs)

La herramienta apropiada para estudiar el efecto del ruido en la dinámica con tiempo continuo es el denominado cálculo estocástico, el cálculo de los caminos (paths) continuos pero irregulares y sometidos a fuerzas aleatorias. Desde el desarrollo de la integral de Ito, este cálculo ha crecido como una parte de la teoría de la probabilidad. Los caminos, o trayectorias, de los procesos estocásticos se pueden descomponer en incrementos deterministas y aleatorios. Independientemente de cuan pequeño sea el intervalo temporal elegido, el incremento aleatorio en el intervalo no se puede predecir del conocimiento de los incrementos previos. Por lo tanto una EDE describe no sólo un camino, sino una colectividad de caminos.

En dichas ecuaciones el cambio que experimenta cada variable en un pequeño incremento de tiempo, Δt, se divide en una parte determinista, proporcional a Δt, y otra estocástica, Guassiana con media cero y desviación típica proporcional a Δt1/2. Cualquier sistema, cuyas variables sean todas continuas en el tiempo, se puede describir mediante una EDE.

No es posible basar el cálculo estocástico en el concepto de derivada porque los caminos estocásticos son generalmente no diferenciables. Al contrario, los caminos están caracterizados por su media y varianza de incrementos. Tras abandonar el concepto de derivada, el considerar los cuadrados de cantidades infinitesimales puede parecer poco intuitivo; sin embargo, esto se debe a que nuestra intuición no está apropiadamente entrenada. Como una regla que se ha de implementar en la computadora, no existen dificultades insuperables. En cada incremento temporal se añaden dos incrementos de la variable considerada: uno aleatorio y otro determinista. De esta manera, se genera una aproximación al valor de la variable en un camino particular del proceso estocástico para instantes de tiempo determinados. Las medias se pueden evaluar mediante la repetición de este procedimiento un suficiente número de veces.

Stochastic calculus: application to dynamic bifurcations and threshold crossings

Kalvis Jansons y Grant Lythe       Journal of Statistical Physics  90  227-251  (1998)
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Ecuaciones diferenciales estocásticas en derivadas parciales

Las técnicas actuales, tanto numéricas como analíticas, para resolver EDP estocásticas son generalizaciones del potente cálculo estocástico desarrollado por Ito y otros en los añ os 50, y que alcanzó su madurez en los 70. Los métodos estocásticos tienen la ventaja de proporcionar una relación estrecha entre cálculos analíticos y resolución con ordenadores. Van a ser imprescindibles para estudiar la dinámica de estructuras coherentes que están en interacción con un medio ambiente. En un contexto más amplio, dichos métodos son necesarios para que los avances de los últimos años en la física no-lineal se conviertan en predicciones sobre fenómenos naturales con estimaciones cuantitativas de incertidumbre.

Se sabe que, resolviendo una EDP estocástica en dos o más dimensiones espaciales, las cantidades macroscópicas dependen explícitamente de la escala más pequeña que se usa. El mismo fenómeno aparece en los últimos estudios del clima de nuestro planeta. Incluso en el caso en que las ecuaciones de movimiento del fluido sean conocidas con fiabilidad, una solución numérica que cubra escalas grandes, pero que al mismo tiempo tenga suficiente resolución para resolver satisfactoriamente escalas pequeñas, está más allá del alcance de los ordenadores más potentes. Por lo tanto, no podemos predecir la evolución del clima, ni decidir si los cambios que constatamos son debidos a la influencia humana, o a la dinámica acoplada entre los oceános, la atmósfera y el ciclo solar. Un reto es la investigación de la dinámica de EDP estocásticas en escalas inferiores a la de la discretización del modelo usado. Los modelos oceánicos globales, por ejemplo, usan redes discretas con un espaciado de kilómetros. En estas condiciones, es necesario poder caracterizar procesos en escalas inferiores a la discretización para que los modelos tengan validez predictiva. Es para ello necesario calcular el efecto del baño de ondas internas (oscilaciones debidas a gradientes verticales de densidad) y hacerlo de forma auto-consistente, respetando las restricciones geométricas que llevan al teorema de Kelvin y a la conservación de la energía.

Por otro lado, las transiciones en las que se produce una rotura de simetría son uno de los fenómenos más comunes en física, desde la de los primeros instantes del universo, hasta las que se estudian en laboratorios de fluidos de nuestros dí as. Una de las particularidades de este tipo de transiciones es la creación de defectos topológicos . Nos ha sido posible, en una dimensión, calcular el número de defectos creados en función de la velocidad de una transición dinámica.

Stochastic PDEs: convergence to the continuum?

Salman Habib y Grant Lythe.       Computer Physics Communications   142    29 (2001)

Domain formation in transitions with noise and a time-dependent bifurcation parameter

Grant Lythe   Physical Review E53   R4271-4274 (1996)

Dynamics of defect formation

Esteban Moro y Grant Lythe   Physical Review E   59    R1303-1306   (1999)


La longitud de correlación que emerge del ruido durante un pase lento y cercano al punto crítico se congela por la no linealidad y forma dominios con longitud característica (8logε/μ})1/4.
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Ruido y dieléctricos no-lineales

Estamos estudiando de manera experimental, numérica y analítica el pasaje de micro-ondas por componientes no-lineales y superconductores. Hemos obtenido de manera analítica la amplitud de la señal de salida, para frecuencias dos veces la de la señal de entrada (input), generada por la no linealidad del medio. Las predicciones están en buen acuerdo con los resultados numéricos y experimentales realizados en Los Alamos National Laboratory (EEUU).
El medio experimental es una guía de ondas hecha en una película superconductora por encima de un cristal dieléctrico con dimensiones 1cm X 1cm X 0.5mm. La no-linealidad se puede afinar mediante un voltaje impuesto, vb, de unos voltios.

Dielectric nonlinearity and stochastic effects in strontium titanate

Alp Findikoglu, Roberto Camassa, Grant Lythe y Q.X. Jia
Applied Physics Letters  80  3391  (2002)

New potential applications of nonlinear dielectrics

Alp Findikoglu et al
Integrated Ferroelectrics  22  259-268  (1998)
 
Puesto que la relación entre carga eléctrica y voltaje es no lineal, la ecuación de ondas exhibe una no-linealidad. Las EDP se resuelven en tres regiones, una de ellas no lineal. Voltaje y corriente varían de forma contínua en las fronteras. Hemos obtenido soluciones numéricas, con condiciones de contorno realistas, pero sin pérdidas. Hemos obtenido un desarollo analítico, basado en que la amplitud de la señal sea pequeña frente al voltaje característico de la no-linealidad.

Añadir ruido puede amplificar el segundo armónico.

Además de fenómenos de resonancia entre la longitud de onda de la señal y la longitud de la guía de ondas, se generan señales armónicas. Obtenemos un acuerdo cuantitativo entre los resultados experimentales, numéricos y teóricos.

Transmission, reflection and second-harmonic generation in a nonlinear waveguide

Roberto Camassa, Alp T. Findikoglu y Grant Lythe
SIAM Journal of Applied Mathematics 66 1-28 (2005)
trasparéncias de Nolineal,
Toledo, 1-4 June 2004

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Dinámica de laseres

Con el Doctor Thomas Erneux de la Université Libre de Bruxelles, Bélgica. Estudio de las ecuaciones diferenciales que modelan láseres con luz reflejada por una cavidad exterior.

Semiconductor lasers have a wide range of applications because they are of relatively small size, they can be massively produced at low cost, and they are easy to operate. Despite their successful technology, semiconductor lasers are very sensitive to any external perturbation. A small amount of optical feedback resulting from the reflection from an optical disk or from the end of an optical fiber is sufficient to generate pulsating instabilities. Systematic experimental studies of semiconductor lasers, in particular time series analysis, is not possible because the timescale of the intensity pulsations is typically in the picosecond regime. Most of the progress in understanding these bifurcations comes from extensive numerical studies of simple models and their comparison to the experimentally obtained Fourier spectra.


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Dinámica controlada por el ruido

En física estadística y de manera tradicional, el papel del ruido es "hacer vibrar" al sistema en un potencial que se deriva de una ecuación determinista. En la teoría estática la influencia del ruido en las bifurcaciones y transiciones de fase, por ejemplo, el efecto mayor del ruido con (r.m.s) magnitud ε es difuminar la bifurcación en una región O(ε) entorno al punto crítico. En este contexto, se reconoce que el ruido multiplicativo produce efectos más interesantes que el ruido aditivo, pero de hecho se necesita ruido O(1) para producir efectos de orden O(1). Un efecto más dramático se observa en las bifurcaciones dinámicas, cuando un parámetro se aumenta lentamente pasando por un punto crítico. En este caso el efecto del ruido es una función del parámetro μ|log ε|, donde μ es la frecuencia de barrido y ε la magnitud del ruido aditivo.

La dinámica lenta--rápida es un ejemplo más dramático de la capacidad organizadora del ruido. En este caso todas las propiedades que se utilizan para describir las trayectorias (el tamaño y el periodo de las órbitas, la posición de las bifurcaciones, la existencia o no de trayectorias caóticas, si las trayectorias son asintóticas, ...) están controladas por cantidades pequeñas de ruido aditivo. La susceptibilidad al ruido se debe a la presencia de una variedad invariante -- un subconjunto del espacio de fases tal que la trayectoria se ve restringida a dicho subconjunto. Durante periodos largos, la trayectoria esta muy cerca de una variedad invariante y se puede distinguir entre las variables que miden la distancia en la dirección paralela a dicha variedad (variables principales), y aquellas que miden la distancia desde la variedad (variables esclavas). Estas fases lentas se ven interrumpidas, de manera ocasional, por ``levantamientos'' transitorios de las variables esclavas (fases rápidas).

Noise and slow-fast dynamics in a three-wave resonance problem

Grant Lythe y MRE Proctor
Physical Review E 47  3122-3127 (1993)

Dynamics controlled by additive noise

Grant Lythe   Nuovo Cimento D17  855-861 (1995)

Predictability of noise-controlled dynamics

Grant Lythe y MRE Proctor
Physica D 133  362 (1999)

α = L2|μlogε|/4π2

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